2.1 数据的表示

2.1.1 进位计数制

![Pasted image 20251112172818](../../../_assets/7d9e6a5-Pasted image 20251112172818.png) 基数：内个数码位所用到的符号的数量，r进制的基数为r

位权展开法（转为十进制）

![Pasted image 20251112172942](../../../_assets/b6533cd-Pasted image 20251112172942.png)

![Pasted image 20251112173120](../../../_assets/af0fbc0-Pasted image 20251112173120.png)

二八十六进制互转

![Pasted image 20251112173351](../../../_assets/4ab2940-Pasted image 20251112173351.png)

![Pasted image 20251112173438](../../../_assets/26bb648-Pasted image 20251112173438.png)

除基取余法（十进制转任意进制）

除二倒取余： ![Pasted image 20251112174326](../../../_assets/9d27333-Pasted image 20251112174326.png)

乘基取整法

乘二正取整： ![Pasted image 20251112174629](../../../_assets/9d21a87-Pasted image 20251112174629.png) 0.2与0.3无法使用二进制精确的表示，是因为没有2^x的组合能够拼出这两个数，只能无限的接近，一般取到小数点第五位

真值与机器数

![Pasted image 20251112174952](../../../_assets/ab68daf-Pasted image 20251112174952.png)

2.1.2 定点数的编码表示

无符号数

![Pasted image 20251112175953](../../../_assets/91379ca-Pasted image 20251112175953.png) ![Pasted image 20251112180022](../../../_assets/fb2e9e5-Pasted image 20251112180022.png) 通常讨论无符号数时，只会讨论整数

![Pasted image 20251112180327](../../../_assets/da3de1a-Pasted image 20251112180327.png) ![Pasted image 20251112183104](../../../_assets/a0a914d-Pasted image 20251112183104.png) ![Pasted image 20251112182404](../../../_assets/80d4597-Pasted image 20251112182404.png)

原码： ![Pasted image 20251112180910](../../../_assets/b575d44-Pasted image 20251112180910.png)
![Pasted image 20251112181255](../../../_assets/a50d0c7-Pasted image 20251112181255.png)
反码：与原码一一对应 ![Pasted image 20251112181409](../../../_assets/fdc5cc3-Pasted image 20251112181409.png)
补码： ![Pasted image 20251112182058](../../../_assets/f9b79fd-Pasted image 20251112182058.png) 由[x]补求[-x]补：符号位与数值为全部取反，末尾再+1 由补码求原码的快速运算：符号位不变，从右向左找到第一个“1”，将这个“1”左侧剩余的尾数取反，即可得到源码。用尾数取反+1也是一样的
移码：可以使用移码的值来比较真值的大小 ![Pasted image 20251112182235](../../../_assets/20776c0-Pasted image 20251112182235.png)

2.1.2 码的作用

![Pasted image 20251113164652](../../../_assets/86cef96-Pasted image 20251113164652.png) 在使用有符号数的原码进行运算的时候（+-），必须要考虑数的正负，否则计算的结果会有异常，我们可以使用模运算将两个数的减法变为加法

模运算

![Pasted image 20251113165627](../../../_assets/bf723bc-Pasted image 20251113165627.png)

由于模运算的性质，实质上是将数分为不同的类，上例中分为12类，而在字长为8bit的计算机中，是将数分为了2^8 类，也就是8位的计算机会自动的进行mod2^8的操作： ![Pasted image 20251113170453](../../../_assets/7d936be-Pasted image 20251113170453.png) 补码，也就是原码的补数，通过这样的方式就能仅在ALU中实现加法操作

2.1.4 C语言中的类型转换

在计算机中，有符号定点整数通常是使用补码来表示的 ![Pasted image 20251113171927](../../../_assets/9ce3abe-Pasted image 20251113171927.png)

零扩展与符号扩展

![Pasted image 20251113172127](../../../_assets/4554d90-Pasted image 20251113172127.png)

![Pasted image 20251113173137](../../../_assets/8b6efcc-Pasted image 20251113173137.png)

2.2 数据的运算

2.2.0 电路

优先级：非>与>或，有括号先算括号 ![Pasted image 20251113174907](../../../_assets/9c9ed89-Pasted image 20251113174907.png)

基本逻辑运算

![Pasted image 20251113173724](../../../_assets/ef7a03b-Pasted image 20251113173724.png)

![Pasted image 20251113173832](../../../_assets/d41e36f-Pasted image 20251113173832.png)

![Pasted image 20251113173946](../../../_assets/07dd460-Pasted image 20251113173946.png)

复合逻辑运算

![Pasted image 20251113174129](../../../_assets/ca4dd28-Pasted image 20251113174129.png)

![Pasted image 20251113174212](../../../_assets/5dc3029-Pasted image 20251113174212.png)

![Pasted image 20251113174453](../../../_assets/f20fe25-Pasted image 20251113174453.png)

![Pasted image 20251113174832](../../../_assets/6039c2b-Pasted image 20251113174832.png)

多路选择器

![Pasted image 20251113180449](../../../_assets/9f188b9-Pasted image 20251113180449.png)

三态门

![Pasted image 20251113180552](../../../_assets/7dd0ab9-Pasted image 20251113180552.png)

2.2.1 加法器

串行进位的并行加法器

进位信息是串行产生的，只有后一位运算完，前一位才能得到稳定的结果，这也叫行波进位 ![Pasted image 20251113181258](../../../_assets/062b581-Pasted image 20251113181258.png)

![Pasted image 20251113181417](../../../_assets/8afce8b-Pasted image 20251113181417.png)

并行进位的并行加法器

![Pasted image 20251113181810](../../../_assets/7039748-Pasted image 20251113181810.png) 无论是串行还是并行，都可以封装为一个加法器，不必关心其内部

带有标志位的加法器

![Pasted image 20251113182101](../../../_assets/7392dbb-Pasted image 20251113182101.png) ![Pasted image 20251113182551](../../../_assets/a50a63b-Pasted image 20251113182551.png)

算数逻辑单元ALU

![Pasted image 20251113183705](../../../_assets/5fb40a6-Pasted image 20251113183705.png)

![Pasted image 20251113183857](../../../_assets/c2624ee-Pasted image 20251113183857.png)

![Pasted image 20251113185327](../../../_assets/7a2bc00-Pasted image 20251113185327.png)

2.2.2 定点数的位移运算

逻辑移位（无符号整数）

![Pasted image 20251113190330](../../../_assets/00dc238-Pasted image 20251113190330.png) ![Pasted image 20251113190415](../../../_assets/493810d-Pasted image 20251113190415.png)

![Pasted image 20251113190519](../../../_assets/20a2496-Pasted image 20251113190519.png)

算数移位（带符号整数补码）

![Pasted image 20251113190809](../../../_assets/2a88a47-Pasted image 20251113190809.png) ![Pasted image 20251113190841](../../../_assets/d7972d4-Pasted image 20251113190841.png)

![Pasted image 20251113191051](../../../_assets/1671d79-Pasted image 20251113191051.png)

2.2.3 定点数的加减运算

![Pasted image 20251113192650](../../../_assets/8f3ece5-Pasted image 20251113192650.png)

这种方式实现很困难，一般使用补码： ![Pasted image 20251113193326](../../../_assets/5d0d0bf-Pasted image 20251113193326.png)

只有同号的两个数相加才会溢出，异号的两个数的和只能比这两个数的绝对值更小，不可能溢出： ![Pasted image 20251113193900](../../../_assets/19afb59-Pasted image 20251113193900.png)

溢出判断

![Pasted image 20251113194318](../../../_assets/917e37f-Pasted image 20251113194318.png)

![Pasted image 20251113194521](../../../_assets/4ca3cfd-Pasted image 20251113194521.png)

![Pasted image 20251113194829](../../../_assets/e319aef-Pasted image 20251113194829.png)

2.2.4 无符号数的加减运算

回顾带符号数的加减运算

![Pasted image 20251123161611](../../../_assets/e314c19-Pasted image 20251123161611.png)

无符号数的加法运算

与有符号数的加法运算是一样的： ![Pasted image 20251123162143](../../../_assets/4a495a1-Pasted image 20251123162143.png)

无符号数的减法运算

与有符号数的减法运算是一样的： ![Pasted image 20251123162427](../../../_assets/7eec674-Pasted image 20251123162427.png)

溢出判断

![Pasted image 20251123162645](../../../_assets/a329ff8-Pasted image 20251123162645.png)

![Pasted image 20251123162908](../../../_assets/ab23b1a-Pasted image 20251123162908.png)

电路实现补码加减运算

参考本章：带有标志位的加法器中的标志位的生成原理 ![Pasted image 20251123163823](../../../_assets/288906b-Pasted image 20251123163823.png)

![Pasted image 20251123164318](../../../_assets/8567111-Pasted image 20251123164318.png)

2.2.5 无符号与带符号整数乘除法

无符号整数乘法

![Pasted image 20251123165438](../../../_assets/56555b2-Pasted image 20251123165438.png)

![Pasted image 20251123165729](../../../_assets/1677337-Pasted image 20251123165729.png)

![Pasted image 20251123170110](../../../_assets/8aa3f3a-Pasted image 20251123170110.png) ![Pasted image 20251123170240](../../../_assets/9fc5681-Pasted image 20251123170240.png)

溢出判断

在大部分计算机中，n bit的数相乘依旧为n bit，这就可能会发生溢出 ![Pasted image 20251123170811](../../../_assets/8ec5f20-Pasted image 20251123170811.png)

带符号数乘法

![Pasted image 20251123172354](../../../_assets/b7d5824-Pasted image 20251123172354.png)

![Pasted image 20251123172729](../../../_assets/ee07e4c-Pasted image 20251123172729.png) ![Pasted image 20251123172857](../../../_assets/e02128e-Pasted image 20251123172857.png)

溢出判断

![Pasted image 20251123173952](../../../_assets/a38305c-Pasted image 20251123173952.png) 对于1110 1110 就查看1110 1 这n+1个bit是否完全相同

计算机实现乘法的三种方式

![Pasted image 20251129141037](../../../_assets/3060ca7-Pasted image 20251129141037.png)

两位乘法

每轮（也就是在同样的时钟周期）中处理末尾的2bit，原先使用n个时钟的情况下的乘法，现在可以使用n/2个时钟处理完。

阵列乘法器

使用更多的硬件，就可以减少时钟周期（不需要掌握电路原理） ![Pasted image 20251129135937](../../../_assets/ee44f19-Pasted image 20251129135937.png)

逻辑运算、加减运算等效实现

可以使用软件的形式实现乘法，不过其速度很慢 ![Pasted image 20251129140234](../../../_assets/e4af59b-Pasted image 20251129140234.png)

无符号整数的除法

手算

![Pasted image 20251129142302](../../../_assets/04789d3-Pasted image 20251129142302.png)

除法电路

重点关注开始状态、结束状态以及异常，中间细节可以放缓 ![Pasted image 20251129142932](../../../_assets/236bef7-Pasted image 20251129142932.png) ![Pasted image 20251129143324](../../../_assets/0907018-Pasted image 20251129143324.png) 这里使用的是回复余数法，同时也有不恢复的方式

商溢出

![Pasted image 20251129154221](../../../_assets/490161f-Pasted image 20251129154221.png)

2.3 浮点数

在考研中，仅考察IEEE 754的规则，其他规则并不考察。并且考研中，浮点数进关注加减法，不关注乘除法

2.3.1 IEEE 754 标准浮点数

![Pasted image 20251129160505](../../../_assets/87eb0f6-Pasted image 20251129160505.png)

由于计算机的机器字长是有限的，对于一个超大数据，我们不可能一直扩展其位数长度，我们可以将其中的一部分舍去（数据精度丢失），以用更少的bit存储，同时对于整体的影响并不太大。 ![Pasted image 20251129161709](../../../_assets/1053e09-Pasted image 20251129161709.png)

位数的位数决定了表示的数的精度，阶码表示数值表示的范围的大小，在计算机中基数默认是2： ![Pasted image 20251129161827](../../../_assets/3d73e7e-Pasted image 20251129161827.png)

![Pasted image 20251129170527](../../../_assets/3355605-Pasted image 20251129170527.png)

![Pasted image 20251129170616](../../../_assets/d7ef550-Pasted image 20251129170616.png)

![Pasted image 20251129171016](../../../_assets/44a762c-Pasted image 20251129171016.png)

![Pasted image 20251129171438](../../../_assets/d422c36-Pasted image 20251129171438.png)

![Pasted image 20251129172115](../../../_assets/f2d917b-Pasted image 20251129172115.png)

![Pasted image 20251129172137](../../../_assets/142df95-Pasted image 20251129172137.png)